\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{amsart} \pagestyle{myheadings} \textwidth=154mm \hoffset=-14mm \usepackage{latexsym,amsmath,amsfonts,amssymb,xypic} \usepackage{czech} \newtheorem*{thm}{Věta} \newtheorem{thmn}{Věta}[section] \newtheorem*{cor}{Důsledek} \newtheorem*{lemma}{Lemma} \newtheorem{lemman}[thmn]{Lemma} \newtheorem*{prop}{Tvrzení} \newtheorem{propn}[thmn]{Tvrzení} \newtheorem*{ap*}{Appendix} \theoremstyle{definition} \newtheorem*{defin}{Definice} \newtheorem*{remark}{Poznámka} \newtheorem{remarkn}[thmn]{Poznámka} \newtheorem*{example}{Příklad} \newtheorem{examplen}{Příklad} \newtheorem*{exerc}{Cvičení} \newtheorem*{notat}{Označení} %% %% \newenvironment{mylist}{\begin{list}{(\/\alph{enumi}\/)}{\usecounter{enumi} \setlength{\rightmargin}{0pt} \setlength{\leftmargin}{5pt} \setlength{\itemindent}{0pt} \setlength{\itemsep}{.5\jot} %\setlength{\topsep}{-12pt} }}{\end{list}} \def\id{\operatorname{id}} \def\const{\operatorname{const}} \def\im{\operatorname{Im}} \def\re{\operatorname{Re}} \def\tr{\operatorname{tr}} \def\lin{\operatorname{Lin}} \def\af{\operatorname{Af}} \def\sign{\operatorname{sign}} \newcommand{\card}{\operatorname{card}} \def\hom #1 #2;{\operatorname{Hom}(#1,#2)} \def\st{\operatorname{st}} \def\mat{\operatorname{Mat}} \def\diag{\operatorname{diag}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\kk{\mathbb{K}} \def\ee{\mathbb{E}} \def\zz{\mathbb{Z}} \def\qq{\mathbb{Q}} \def\nn{\mathbb{N}} \def\ss{\mathbb{S}} \def\A{{\mathcal A}} \def\B{{\mathcal B}} \def\P{{\mathcal P}} \def\E{{\mathcal E}} \def\N{{\mathcal N}} \def\jj{\mathbb{J}} \def\s #1{{\mathcal S}_{#1}} \newcommand{\dd}[2][]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \def\vek #1{\/{\mathbf#1}\/} %vektory psane tucne %\def\vek #1{{\boldkey #1}} vyzkouset, jak tohle funguje \def\sour #1{\/{\mathbf#1}\/} %souradnice vektoru v neuvedene bazi, %take tucne, casem bud bude vypadat jinak, nebo prejmenuj na \vek \def\bod #1{[#1]} %linearni obal aritmetickeho zastupce, bod v \P_n %\def\bod #1{\langle #1\rangle} %a puvodni definice, ktera se libila mne \def\vct #1{\overrightarrow{#1}} %-> oznacujici vektor z bodu do bodu \def\vctc #1{\overrightarrow{#1} {\lower-1.5ex\hbox{$\mathbb{\scriptstyle C}$}}} %->cc oznacujici vektor z bodu do bodu v komplexifikaci \newcommand{\skal}{\cdot} %skalarni soucin -- mozna bude chtit tlustsi tecku %\newcommand{\df}[1]{{\em #1}\index{#1}} %definovany pojem v definici \newcommand{\df}[1]{{\em #1}} %definovany pojem v definici %\makeindex \newcommand{\trid}[1]{[#1]} % trida ekvivalence \catcode`\"=13 \def"{\begingroup\clqq \def"{\crqq\endgroup}} %ceske uvozovky %\setlength{\parskip}{1ex} %\setlength{\belowdisplayskip}{24pt plus 3pt minus 9pt} %% konec definic a maker %% %% \begin{document} \begin{center}{\large\bf Letmý úvod k algebraickým strukturám}\\ \sc První pracovní verze\end{center} \bigskip \noindent{\small\em Tento text na příkladech ukazuje vlastnosti základních algebraických struktur -- grup, okruhů, polí, vektorových prostorů a algeber. Zvláštní důraz je kladen na vysvětlení operací v okruhu matic. Nejde o učebnici lineární algebry, takže některé důležité pojmy jsou opomenuty nebo není dostatečně vysvětlen jejich význam.} \section{Matice a algebraické struktury} \begin{defin} \df{Maticí typu $k \times l$ nad množinou $S$} rozumíme zobrazení $$M:\{1,\dots,k\}\times\{1,\dots,l\}\to S.$$ Říkáme též, že matice $M$ má $k$ řádků a $l$ sloupců. Hodnotě $M(i,j)$ říkáme \df{prvek matice $M$ v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci}. Matice často zapisujeme prostřednictvím obdélníkové tabulky s $k$ řádky a $l$ sloupci. Poznamenejme, že v tomto textu v rozporu se zavedeným značením (ale v souladu s logiku edice {\em Letmý úvod}) nebudeme prvky matic značit malými písmeny. \end{defin} Nyní ukážeme, že množiny matic mají určitou strukturu, aniž bychom přesně definovali, co se strukturou rozumí. Tento pojem však osvětlíme na řadě příkladů. \medskip V množině přirozených čísel $\nn=\{0,1,\dots\}$ lze prvky sčítat a násobit. To znamená, že existují dvě \df{(binární) operace}, čímž rozumíme zobrazení \begin{align*}&+: \nn\times\nn\to\nn\\&\cdot:\nn\times\nn\to\nn. \end{align*} Píšeme ale pro přehlednost $a+b$ namísto $+(a,b)$ a podobně pro násobení. Příkladem struktury je množina přirozených čísel s těmito dvěma (binárními) operacemi. Odčítání ani dělení nejsou operacemi na $\nn$, protože rozdíl nebo podíl dvou přirozených čísel nemusí být přirozené číslo. Pokud chceme, aby odčítání byla operace, musíme rozšířit číselný obor, s nímž pracujeme. Dostaneme celá čísla $\zz$. Podobně se nám ale nepodaří rozšířit přirozená čísla na nějaký číselný obor, aby bylo operací i dělení -- nulou dělit nejde. Sčítání v $\zz$ je operace, která má tyto vlastnosti: \begin{align} \forall a,b,c\in\zz: a+(b+c)=(a+b)+c&\qquad\text{(asociativita)} \label{asoc}\\ \exists 0\in\zz\forall a\in\zz: 0+a=a+0=a&\qquad\text{(existence neutrálního prvku)}\label{neutralni prvek}\\ \forall a\in\zz\exists b\in\zz: a+b=0&\qquad\text{(existence inverzního prvku)} \label{inverze}\\ \forall a,b\in\zz: a+b=b+a&\qquad\text{(komutativita)}\label{komut} \end{align} \begin{defin} Řekneme, že množina $S$ spolu s operací $\star$ je \df{grupa}, pokud splňuje vlastnosti \ref{asoc}--\ref{inverze}, a \df{komutativní grupa}, pokud splňuje \ref{asoc}--\ref{komut}. Množinu $S$ s operací $\star$ zapisujeme dvojicí $(S,\star)$. \end{defin} \begin{examplen} Tedy sčítání v $\zz$ je komutativní grupa. Sčítání v $\nn$ vlastnosti komutativní grupy nemá a násobení v $\nn$ ani v $\zz$ také ne. Povšimněte si ale, které z vlastností komutativní grupy násobení v $\nn$ a v $\zz$ splňuje: je asociativní, existuje neutrální prvek a je komutativní. Kdybychom přidali zlomky a pracovali s racionálními čísly $\qq$, stejně nebude existovat inverzní prvek pro každé $a\in\qq$. Násobení na $\qq-\{0\}$ je grupa. Odčítání v $\zz$ není grupa. Také dělení v $\qq$ není grupa a ani v $\qq-\{0\}$ to není grupa. Množina $\zz_3=\{-1,0,1\}$ zbytkových tříd po dělení 3 je komutativní grupa vzhledem k operaci sčítání definované tabulkou $$\begin{array}{c|ccc} +&-1&0&1\\\hline -1&1&-1&0\\ 0&-1&0&1\\ 1&0&1&-1 \end{array}$$ Množina $S_0=\{-1,1\}\subseteq \zz$ s násobením definovaným stejně jako v $\zz$ je komutativní grupa. Povšimněte si, že $S_0=\zz_3-\{0\}$ -- je to určitá analogie s $\qq-\{ 0\}$, která bude později důležitá. \end{examplen} Nyní se pokusíme definovat operace také na množinách matic. Označme $$\mat_{k \times l}(S)=\Big\{M:\{1,\dots,k\}\times\{1,\dots,l\}\to S\Big\}$$ množinu všech matic typu $k \times l$. Pokusme se definovat sčítání v $\mat_{k \times l}(S)$ "po složkách" předpisem $$(M+N)(i,j)=M(i,j)+N(i,j),$$ kde $M,N\in\mat_{k \times l}(S)$, $i=1,\dots,k$, $j=1,\dots,l$. Uvědomte si, že tato definice nedává žádný smysl, protože v obecné množině $S$ neumíme sčítat. V $\mat_{k\times l}(\nn)$ jde ale o operaci. \begin{exerc} Dokažte, že je-li $(G,+)$ grupa, je $\mat_{k \times l}(G)$ s výše definovaným sčítáním také grupa, a je-li $(G,+)$ komutativní, je i $\mat_{k \times l}(G)$ komutativní grupa. \end{exerc} Podobně jako sčítání lze v $\mat_{k \times l}(\nn)$ definovat operaci násobení $$(M\ast N)(i,j)=M(i,j)\cdot N(i,j).$$ \begin{remark} Toto násobení nemá velké využití a to, že jej zde uvádíme, je matoucí a nepedagogické. \end{remark} \begin{exerc} Rozhodněte, zda $\big(\mat_{k \times l}(\zz),\ast\big)$, $\big(\mat_{k \times l}(\qq),\ast\big)$ nebo $\big(\mat_{k \times l}(\qq-\{0\}),\ast\big)$ jsou grupy, případně komutativní grupy. \end{exerc} Vraťme se nyní k celým číslům. Nic nám nebrání uvažovat operace sčítání a násobení současně. Víme, že $(\zz,+)$ je komutativní grupa a $(\zz,\cdot)$ nikoli. Platí však několik vlastností, které svazují tyto dvě binární operace dohromady: \begin{align} \forall a,b,c\in\zz: a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c& \qquad\text{(levá distributivita)}\label{leva distrib}\\ \forall a,b,c\in\zz: (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c&\qquad\text{(pravá distributivita)}\label{prava distrib} \end{align} Navíc, jak jsme již podotkli výše, je násobení v $\zz$ asociativní a komutativní a má neutrální prvek. \begin{defin} Množina $S$ s dvěma (binárními) operacemi $+$ a $\cdot$ se nazývá \df{okruh}, pokud $(S,+)$ je komutativní grupa, operace $\cdot$ je na $S$ asociativní a má neutrální prvek a pokud $+$ a $\cdot$ splňují \ref{leva distrib}--\ref{prava distrib}. Je-li navíc $\cdot$ komutativní, mluvíme o \df{komutativním okruhu}. \end{defin} \begin{remark} Povšimněte si, že $+$ v okruhu je podle naší definice komutativní vždy. Okruhy lze definovat obecněji, ale v našich úvahách to nebudeme potřebovat. Nekomutativní $+$ vede k takovým komplikacím, že raději volíme méně obecnou definici. \end{remark} \begin{notat} V případě, že nemůže být pochyb o tom, které operace v grupách či okruzích uvažujeme, budeme místo označení grupy či okruhu používat pouze označení množiny bez operací. Budeme se snažit označovat abstraktní množiny písmenem $S$ (set), grupy $G$ a okruhy $R$ (ring). Neutrální prvek vzhledem k operaci $+$ budeme označovat $0$ a inverzní prvek vzhledem k $+$ budeme nazývat opačný prvek. Neutrální prvek vzhledem k $\cdot$ budeme označovat $1$. Tato konvence odpovídá označení prvků v číselných oborech, takže by neměla být příliš matoucí. Raději se zamyslete, zda vás v předchozím textu nemátlo, že např. neutrálním prvkem v grupě $(\qq-\{0\},\cdot)$ byl prvek $1$. Název inverzní prvek vyhradíme v okruzích pro inverzní prvek vůči $\cdot$. \end{notat} \begin{examplen} Příkladem okruhů je $(\zz,+,\cdot)$, $(\qq,+,\cdot)$, nikoli $(\qq-\{0\},+,\cdot)$. Okruhem je také $(\zz_3,+,\cdot)$, kde násobení je stejné jako v $\zz$. Množina $\big(\mat_{k \times l}(\nn),+,\ast\big)$ okruhem není, ale $\big(\mat_{k \times l}(\zz),+,\ast\big)$ a $\big(\mat_{k \times l}(\qq),+,\ast\big)$ ano. Dalším příkladem okruhu jsou polynomy $\nn[x]$, $\zz[x]$ a $\qq[x]$ s koeficienty v množině přirozených, resp. celých a racionálních čísel. Operacemi na polynomech jsou běžné sčítání a násobení polynomů. Ve všech příkladech okruhů jde o komutativní okruhy. S podstatným příkladem nekomutativního okruhu se setkáme v příkladu \ref{definice GLn}. \end{examplen} \medskip Povšimněte si, že některé okruhy se mírně liší od jiných v tom, jak "dobré" je v nich násobení, resp. kolik prvků má inverzi vzhledem k násobení. \begin{defin} Nechť v komutativním okruhu $(R,+,\cdot)$ je splněna vlastnost \begin{align} \forall r\in R, r\neq 0 \exists s\in R: r\cdot s=s\cdot r=1&\qquad\text{(vlastnost pole)}\label{pole} \end{align} Pak $(R,+,\cdot)$ nazýváme \df{pole}. \end{defin} \begin{remark} Je-li vlastnost \ref{pole} splněna v nekomutativním okruhu, nazýváme jej \df{těleso}. V dalším textu se však budeme věnovat výhradně polím, protože teorie těles je značně komplikovaná a nemá pro účely tohoto textu valný význam. \end{remark} \begin{examplen} Příkladem pole je $(\qq,+,\cdot)$ nebo $(\zz_3,+,\cdot)$. Žádný další okruh z uvedených příkladů polem není. Zamyslete se především, proč nesplňuje vlastnost \ref{pole} množina matic $\big(\mat_{k \times l}(\qq),+,\ast\big)$. Toto je také patrně vhodné místo na to, abyste si připomněli, jak vypadají prvky $0$ a $1$ v maticích a jaké jsou tam opačné a inverzní prvky. \end{examplen} \begin{exerc} Dokažte tvrzení obsažená v předešlém příkladu. \end{exerc} \begin{exerc} Nechť v $(R,+,\cdot)$ platí silnější vlastnost než \ref{pole}: $$\forall r\in R\exists s\in r: r\cdot s=s\cdot r=1. $$ Dokažte, že pak $R=\{1\}$ je tzv. \df{triviální okruh}, který není příliš zajímavý. To znamená, že vlastnost \ref{pole} není "slabá" a definice pole je "rozumná". \end{exerc} \begin{remark} Pole pro nás budou důležitá později. Sluší se také vysvětlit, proč neuvádíme jako příklady polí další číselné obory, reálná a komplexní čísla. Důvodem je to, že z hlediska lineární algebry nepřináší tyto množiny nic podstatně odlišného od množiny racionálních čísel. Důvodem dalšího rozšiřování číselného oboru je buď snaha o metrickou úplnost, nebo o přidání kořenů polynomů vyššího řádu, což pro účely tohoto textu nemá žádný význam. \end{remark} \bigskip Grupy a okruhy představovaly struktury s (binárními) operacemi. Nyní se budeme věnovat strukturám zcela odlišným. \medskip Uvědomte si, že pro $a\in\zz$ a polynom $p\in\qq[x]$ má smysl uvažovat polynom s racionálními koeficienty $a\cdot p$, čímž rozumíme pro $p=b_nx^n+\dots b_1x+b_0$ polynom $$a\cdot p=(a\cdot b_n)x^n+\dots +(a\cdot b_1) x+(a\cdot b_0).$$ Toto násobení ale není v žádném případě binární operace, neboť mícháme prvky dvou různých množin. Formálně toto násobení představuje zobrazení, které pro větší přehlednost označíme jiným symbolem $$\odot : \zz \times\qq[x]\to\qq[x].$$ Povšimněte si, že toto zobrazení splňuje \begin{align} \forall p\in\qq[x]: 1\odot p=p&\qquad\text{(vlastnost jednotky)} \label{jednotka}\\ \forall a,b\in\zz \forall p\in\qq[x]: a\odot (b\odot p)= (a\cdot b)\odot p&\qquad\text{(vnější asociativita)}\label{vnejsi asoc} \end{align} Povšimněte si vlastnosti \ref{jednotka}. Zde 1 chápeme jako prvek $\zz$ a nikoli jako polynom nulového stupně z $\qq[x]$. \begin{remark} Nechť $G$ je libovolná grupa a $S$ libovolná množina. Pak zobrazení $G\times S\to S$ splňující \ref{jednotka} a \ref{vnejsi asoc} nazýváme \df{akce grupy $G$ na množině $S$}. Akcím grup je z podstatné části věnován {\em Letmý úvod k afinním prostorům}, takže je nebudeme rozebírat příliš podrobně. \end{remark} V našem případě jsou však $\zz$ a $\qq[x]$ okruhy a díky tomu má akce $\odot$ další významné vlastnosti: \begin{align} \forall a\in \zz\forall p,q\in\qq[x]: a\odot(p+q)=a\odot p+a\odot q& \quad\text{(levá vnější distributivita)}\label{leva vne distrib}\\ \forall a,b\in\zz\forall p\in\qq[x]: (a+b)\odot p=a\odot p+b\odot p&\quad\text{(pravá vnější distributivita)} \label{prava vne distrib} \end{align} \begin{exerc} Pokuste se pochopit, která operace $+$ je na kterém místě ve vlastnostech \ref{jednotka}--\ref{prava vne distrib} použita. V dalším textu budeme už opět pro jednoduchost označovat akci $\odot$ symbolem běžného násobení, takže si dobře rozmyslete vlastnost \ref{vnejsi asoc}, kde vystupují oba tyto symboly. \end{exerc} \begin{remark} Povšimněte si, že vlastnosti \ref{jednotka}--\ref{prava vne distrib} nevyužívají toho, že $\qq[x]$ je okruh. Ve skutečnosti bychom tak měli mluvit o vlastnosti \ref{vnejsi asoc} jako o levé vnější asociativitě, přičemž pravá vnější asociativita by využívala násobení v $\qq[x]$. Vlastnosti formulované výše však užijeme v následující definici. \end{remark} \begin{defin} Nechť $(R,+,\cdot)$ je libovolný okruh a $(G,+)$ komutativní grupa. Nechť je definována akce $\odot:R\times G\to G$ splňující vlastnosti \ref{jednotka}--\ref{prava vne distrib}. Pak řekneme, že \df{$G$ je modul nad $R$}, prvky $R$ nazýváme \df{skaláry} a akci $\odot$ nazveme \df{vnější násobení} nebo též \df{násobení skalárem}. \end{defin} \begin{examplen} \label{moduly} Také $\zz[x]$ je modul nad $\zz$, ale $\zz[x]$ není modul nad $\qq$. Povšimněte si, že také $\qq$ je modul nad $\zz$ a $\zz$ je modul nad $\zz$. To je příkladem hned dvou důležitých faktů. Předně, každý okruh $(R,+,\cdot)$ je modulem nad $(R,+,\cdot)$, přičemž vnější násobení splyne s násobením $\cdot$. Méně evidentní je druhé tvrzení: Každá komutativní grupa $(G,+)$ je modul nad $\zz$, přičemž operace $\odot: \zz\times G\to G$ je definována následovně. Nechť $g\in G$ je libovolné a $a\in\zz$ je kladné číslo, pak $$a\odot g=g+g+\dots+g,$$ kde $g$ sečteme $a$-krát. Nechť $a=0$, pak položme $a\odot g=0\in G$. Nechť konečně $a$ je záporné, pak $$a\odot g=(-g)+(-g)+\dots+(-g),$$ kde $-g$ označuje inverzní prvek k $g$ a sčítáme $(-a)$-krát. Je přitom samozřejmé, že každý modul nad $\zz$ je zároveň komutativní grupou, tedy mezi komutativními grupami a moduly nad $\zz$ není žádný rozdíl. \end{examplen} \begin{exerc} Uvažte příklady různých okruhů a grup, s nimiž jsme se již setkali, a pokuste se rozhodnout, zda jsou některé z nich modulem nad některými z těchto okruhů. Především si všímejte maticových okruhů a grup. \end{exerc} \begin{examplen} Označme symbolem $\qq[x]_n$ množinu všech polynomů stupně nejvýše $n$, tedy $$\qq[x]_n=\{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0;a_n,\dots,a_0\in \qq\}.$$ Tato množina je zřejmě komutativní grupou vzhledem k operaci sčítání. Je to tedy modul nad $\zz$. Je to ovšem také modul nad $\qq$. Na $\qq[x]_n$ lze definovat násobení podobně jako v případě zbytkových tříd $\zz_n$, ale tím se zabývat nebudeme. Pro naše účely jde o vhodný příklad modulu nad $\qq$. \end{examplen} \begin{exerc} Nechť $(R,+,\cdot)$ je okruh, $(G,+)$ komutativní grupa a $\odot: R \times G\to G$ definováno pro každé $r\in R$ a každé $g\in G$ předpisem $r\odot g=g$. Může být $G$ modulem nad $R$ vzhledem k tomuto vnějšímu násobení? \end{exerc} \begin{examplen} Povšimněme si nyní rozdílu mezi moduly nad $\zz$ a moduly nad $\qq$. Víme již, že $\qq$ je modul nad $\zz$ i nad $\qq$. Chápejme nyní $\qq$ jako modul nad $\qq$ a zvolme libovolně nenulový skalár $p\in\qq$ a prvek $q\in\qq$. Pak zřejmě existuje skalár $p^{-1}\in\qq$ tak, že $$q=(p^{-1}\cdot p)\cdot q=p^{-1}\cdot(p\cdot q).$$ Nyní ale chápejme $\qq$ jako modul nad $\zz$ a zvolme libovolný nenulový skalár $a\in\zz$. Pak ale $$q=(a^{-1}\cdot a)\cdot q=a^{-1}\cdot(a\cdot q)$$ jen v těch případech, kdy existuje inverzní prvek k $a$, tedy pouze tehdy, je-li $a=\pm 1$. \end{examplen} \begin{defin} Modul nad polem nazýváme \df{vektorový prostor}. Prvky vektorového prostoru nazýváme \df{vektory}. \end{defin} \begin{notat} Abstraktní pole budeme označovat symbolem $\kk$ a budeme mluvit o vektorových prostorech nad polem $\kk$. \end{notat} \begin{remark} Vektorové prostory jsou základním pojmem lineární algebry. Prostor, který jim věnujeme v tomto textu, pochopitelně není dostatečný. Doporučujeme proto důkladné studium tohoto pojmu v některé z učebnic, např. \cite{hefferon} nebo \cite{slovak}. \end{remark} \begin{examplen} Grupy $\qq$, $\qq[x]$ a $\qq[x]_n$ jsou vektorovými prostory nad polem $\qq$. Grupa matic $\mat_{k \times l}(\qq)$ je vektorový prostor nad $\qq$. Obecně každé pole je vektorovým prostorem nad sebou samým. Množina $\{0\}$ je vektorový prostor nad každým polem. \end{examplen} Pojem vektorového prostoru se může na první pohled zdát poněkud zbytečným. Oproti modulům nad obecným okruhem však máme možnost formulovat některé důležité pojmy. \begin{defin} Řekneme, že množina vektorů $S \subseteq V$ je \df{lineárně nezávislá}, pokud pro každou její konečnou podmnožina $\{v_1,\dots,v_k\}\subseteq S$ a každou množinu skalárů $\{a_1,\dots, a_k\}$ platí, že $$a_1\cdot v_1+\dots +a_k\cdot v_k=0\qquad\implies\qquad a_1=\dots=a_k=0.$$ Řekneme, že množina je \df{lineárně závislá}, pokud není lineárně nezávislá. \end{defin} \begin{examplen}\label{jeden nezav} Množina $\{0\} \subseteq V$ je vždy lineárně závislá, obecněji každá množina vektorů obsahující nulový vektor je lineárně závislá. Jednoprvková množina $\{v\}$, kde $v\in V$ je nenulový vektor, je vždy lineárně nezávislá. \end{examplen} \begin{examplen} Označme $\zz_6=\{0,1,\dots,5\}$ a definujme sčítání a násobení na $\zz_6$ následovně: nechť pro $a,b\in\zz_6$ je $a+b$ rovno zbytku po dělení $6$ ze součtu $a+b$ v $\nn$, podobně nechť $a\cdot b$ je rovno zbytku po dělení $6$ ze součinu $a\cdot b$ v $\nn$. Takto je např. $4+3=1$ nebo $2\cdot 5=4$. Lze snadno ukázat, že $(\zz_6,+,\cdot)$ je okruh. Z příkladu \ref{moduly} víme, že každý okruh je modulem sám nad sebou. Přitom $\zz_6$ není pole, neboť jen $1$ a $5$ má v $\zz_6$ inverzi. Tedy $\zz_6$ není vektorový prostor nad $\zz_6$. Srovnejte to se $\zz_3$, které je vektorovým prostorem nad $\zz_3$. (Lze ukázat, že $\zz_n$ je pole právě tehdy, když $n$ je prvočíslo.) Uvažme nyní množinu $\{2\} \subseteq \zz_6$. Protože $3\cdot 2=0$, vidíme, že na rozdíl od vektorových prostorů může být jeden prvek modulu lineárně závislý. Tedy v modulech nemusí mít pojem lineární nezávislosti smysl. \end{examplen} \begin{examplen} Ve skutečnosti byl hlavní problém předchozího příkladu v tom, že v $\zz_6$ existují tzv. \df{dělitelé nuly}, tedy nenulové prvky, které lze vynásobit vhodným nenulovým prvkem tak, že výsledkem je nula. Uvědomte si, že např. v $\zz$ dělitelé nuly nejsou. Okruhu bez dělitelů nuly říkáme \df{obor integrity}. V modulech nad oborem integrity má lineární závislost a nezávislost smysl, nicméně záhy dospějeme k dalšímu pojmu, který ukáže, proč je výhodnější pracovat s vektorovými prostory. \end{examplen} \begin{defin} Nechť $V$ je vektorový prostor nad $\kk$ a $v_1,\dots,v_k\in V$. Nechť $a_1,\dots,a_k\in\kk$. Výraz tvaru $$a_1\cdot v_1+\dots+a_k\cdot v_k$$ nazveme \df{lineární kombinací vektorů $v_1,\dots,v_k$}. \end{defin} \begin{remark} Platí zřejmě $0\cdot v_1+\dots +0\cdot v_k=0$ pro libovolné vektory $v_1,\dots,v_k$. Lineární kombinaci s nulovými skaláry říkáme \df{triviální lineární kombinace}. To tedy znamená, že vektory $v_1,\dots,v_k$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, je-li každá jejich netriviální lineární kombinace různá od nuly. \end{remark} \begin{remark} Lineární kombinace jsou jen konečné součty. To plyne z toho, že operace součtu více vektorů je vlastně definována pomocí indukce, tedy pro $v_1,\dots,v_n\in V$ musíme chápat $v_1+\dots+v_n$ jako $v_1+(v_2+(\dots+(v_{n-1}+v_n)\dots)$, přičemž na uzávorkování nezáleží, neboť sčítání je asociativní. Jinak řečeno, díky tomu, že umíme sečíst dva vektory, umíme jich sečíst konečně mnoho. Protože často pracujeme s nekonečnými množinami, nabízí se chybná představa, že i operace mohou být nekonečněkrát opakovány. Už v nejjednodušším příkladu vektorového prostoru $\qq$ nad $\qq$ dobře víme, že nekonečný součet racionálních čísel není racionální číslo, ale nějaká podivná nekonečná řada. Promyslete si, zda podobnou chybu neděláte při práci s libovolnými operacemi, nejen s lineárními kombinacemi ve vektorovém prostoru. \end{remark} \begin{examplen} \label{zavisly komb ostatnich} Nechť $v_1,\dots,v_k\in V$ jsou lineárně závislé. Pak lze některý z vektorů $v_1,\dots,v_k$ vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Skutečně, je-li $$a_1\cdot v_1+\dots+a_k\cdot v_k=0$$ pro vhodné skaláry a $a_i\neq 0$ pro některé $i=1,\dots,k$, pak $$v_i=a_i^{-1}\cdot (a_1\cdot v_1+\dots+a_{i-1}\cdot v_{i-1} +a_{i+1} \cdot v_{i+1}+\dots +a_k\cdot v_k).$$ Uvědomte si, že ne každý vektor $v_i$ lze takto vyjádřit, neboť je-li příslušný skalár $a_i$ roven nule, neexistuje k němu inverzní prvek. Rozmyslete si pečlivě situaci, kdy je jediný skalár v lineární kombinaci nenulový. \end{examplen} \begin{examplen} Povšimněte si, že toto tvrzení neplatí v modulech nad obory integrity, protože ne každý nenulový prvek oboru integrity má inverzní prvek. Nechť $\zz$ je vektorový prostor nad $\zz$. Pak $2$ a $3$ jsou lineárně závislé, protože $-3\cdot 2+2\cdot 3=0$, ale $3$ nelze vyjádřit jako lineární kombinaci $2$ a naopak. (Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho skalární násobek.) Pokud ale budeme $2$ a $3$ chápat jako prvky vektorového prostoru $\qq$ nad polem $\qq$, lze $2$ vyjádřit snadno jako $2=2/3\cdot 3$ a podobně $3=3/2\cdot 2$. Pokud ale chápeme $2$ a $3$ jako prvky modulu $\qq$ nad okruhem $\zz$, jsme ve stejné situaci, jako by šlo o prvky $\zz$. \end{examplen} \begin{defin} Nechť $V$ je vektorový prostor nad $\kk$ a $S \subseteq V$ libovolná podmnožina. \df{Lineárním obalem množiny $S$} nazveme množinu $$\lin(S)=\{a_1\cdot v_1+\dots+a_k\cdot v_k; k\in\nn, a_1,\dots,a_k\in\kk, v_1,\dots,v_k\in S\},$$ je-li $S\neq\emptyset$, lineární obal prázdné množiny $\lin(\emptyset)$ klademe roven $\{0\}$. Množinu $S$ nazýváme \df{množinou generátorů} prostoru $V$, pokud $\lin(S)=V$. \end{defin} \begin{examplen} Povšimněte si především, že každý vektorový prostor je množinou generátorů sebe sama.\label{generuje se sam} \end{examplen} \begin{defin} Lineárně nezávislá množina generátorů se nazývá \df{báze}. \end{defin} \begin{remark} Povšimněte si, že množinou generátorů vektorového prostoru $\{0\}$ je prázdná množina. Ta je jistě lineárně nezávislá, tedy je to báze $\{0\}$. \end{remark} \begin{examplen} \label{v mod baze ne} Pojem lineárního obalu má smysl i pro moduly. Uvažme $\zz$ jako modul nad $\zz$. Množina $\{2,3\}$ je množinou generátorů. Jiným příkladem je množina $\{1\}$. Zatímco $\{1\}$ je lineárně nezávislá množina (a tedy "báze" v $\zz$), množina $\{2,3\}$ je lineárně závislá. \end{examplen} \begin{thm} Je-li množina generátorů vektorového prostoru $V$ konečná, lze z ní vybrat bázi. \end{thm} \begin{proof} Důkaz provedeme indukcí vzhledem k počtu generátorů. Vektorový prostor~$\{0\}$ má prázdnou bázi. V příkladu \ref{jeden nezav} jsme viděli, že jednoprvková množina generátorů je lineárně nezávislá, tedy báze. Nechť věta platí pro $k-1$ generátorů a nechť $V=\lin(\{v_1,\dots,v_k\})$. Pokud jsou generátory lineárně nezávislé, jsme hotovi, pokud ne, lze podle příkladu \ref{zavisly komb ostatnich} některý generátor, řekněme $v_1$, vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Pak ale $V=\lin(\{v_2,\dots,v_k\})$ a podle indukčního předpokladu lze vybrat bázi. \end{proof} \begin{remark} Povšimněte si, že tvrzení platí pouze pro konečnou množinu generátorů. Kdyby toto omezení v předpokladech věty nebylo, šlo by vybrat bázi ze všech prvků vektorového prostoru vzhledem k příkladu \ref{generuje se sam}. Věta tedy neříká, že má každý vektorový prostor bázi. Ve skutečnosti je existence báze nekonečněrozměrného vektorového prostoru ekvivalentní s axiomem výběru. \end{remark} \begin{examplen} Vraťme se k příkladu \ref{v mod baze ne}. Z množiny $\{2,3\}$ nelze vybrat bázi, protože ani $2$, ani $3$ negenerují celé $\zz$ (například jimi nelze vygenerovat prvek $1$). \end{examplen} \begin{examplen} \label{priklady bazi} Chápejme $\qq$ jako vektorový prostor nad $\qq$. Pak je každá jednoprvková množina $\{q\in\qq; q\neq 0\}$ báze v $\qq$. Obecněji, chápeme-li pole $\kk$ jako vektorový prostor nad $\kk$, je množina $\{k\in\kk;k\neq 0\}$ jeho bazí. Množina $\{1,x,x^2,\dots,x^n,\dots\}$ je bazí v $\qq[x]$, podobně $\{1,x,\dots,x^n\}$ je bazí v $\qq[x]_n$. Nechť $O_{i,j}$ označuje matici typu $k\times l$ definovanou předpisem $$O_{i,j}(p,q)=\begin{cases}1\text{ pro }p=i, q=j\\0\text{ jinak} \end{cases}$$ Pak množina $\big\{O_{i,j}\/;\ i=1,\dots,k,\ j=1,\dots, l\big\}$ je bazí v $\mat_{k \times l}(\kk)$. \begin{exerc} Dokažte všechna tvrzení z předešlého příkladu. \end{exerc} \end{examplen} \begin{examplen} \label{souradnice jednoznacne} Příklad \ref{zavisly komb ostatnich} lze nahlédnout ještě z jiné strany. Nechť $\{v_1,\dots,v_k\} \subseteq V$ je lineárně nezávislá množina a $u\in\lin(\{v_1,\dots,v_k\})$. Pak množina $\{u,v_1,\dots,v_k\}$ je lineárně závislá, neboť $$u=a_1\cdot v_1+\dots +a_k\cdot v_k$$ pro vhodné skaláry a tedy $$(-1)\cdot u+a_1\cdot v_1+\dots +a_k\cdot v_k=0.$$ Nechť nyní specielně $\{v_1,\dots, v_n\}\subseteq V$ je báze a $u\in V$ libovolný vektor. Protože báze generuje $V$, platí $u\in\lin(\{v_1,\dots,v_n\})$. To ale znamená, že $u$ je lineární kombinací vektorů báze, tedy $$u=a_1\cdot v_1+\dots+a_n\cdot v_n.$$ Je toto vyjádření jednoznačné? Kdyby existovaly skaláry $b_1,\dots,b_n\in\kk$ tak, že $$u=b_1\cdot v_1+\dots +b_n\cdot v_n,$$ pak by platilo $$a_1\cdot v_1+\dots+a_n\cdot v_n-(b_1\cdot v_1+\dots +b_n\cdot v_n)= (a_1-b_1)\cdot v_1+\dots+(a_n-b_n)\cdot v_n=0,$$ protože jsou ale vektory $v_1,\dots,v_n$ lineárně nezávislé, znamená to, že $a_i=b_i$ pro $i=1,\dots,n$. \end{examplen} \section{Vektorové prostory a matice přechodu} \begin{notat} Z praktických důvodů budeme nadále pracovat nikoli s bázemi jako množinami, ale jako s uspořádanými $n$-ticemi, což se občas nazývá \df{uspořádané báze}. My nicméně budeme říkat pouze báze a budeme velmi volně nakládat s tím, kdy myslíme bazí uspořádanou a kdy neuspořádanou množinu a necháme na čtenáři, aby rozdíl vyrozuměl z kontextu. Báze budeme zapisovat jako řádky a označovat malými písmeny řecké abecedy. \end{notat} \begin{defin} Nechť $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ je báze $V$ nad $\kk$ a $u\in V$ libovolný vektor. Pak podle příkladu \ref{souradnice jednoznacne} existují jednoznačně určené skaláry $a_1,\dots,a_n\in\kk$ tak, že $$u=a_1\cdot v_1+\dots +a_n\cdot v_n.$$ Tyto skaláry budeme nazývat \df{souřadnice vektoru $u$ vzhledem k bázi $\alpha$} a zapisovat jako sloupec $$(u)_\alpha=\begin{pmatrix} a_1\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}.$$ \end{defin} \begin{examplen} \label{souradnice baze v sobe same} Povšimněte si především, že pro každou bázi $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ ve $V$ platí $$(v_1)_\alpha=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix},\quad (v_2)_\alpha=\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix},\quad\dots\quad (v_{n-1})_\alpha=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\\vdots\\1\\0 \end{pmatrix},\quad (v_n)_\alpha=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}.$$ \end{examplen} \begin{examplen} \label{baze v poly mod n} Mějme dvě báze, např. $\alpha=(1,x,x^2,\dots,x^n)$ a $\beta=(1,1+x,1+x+x^2,\dots,1+x+\dots+x^n)$ v $\qq[x]_n$. Uvědomte si, že podle příkladu \ref{souradnice jednoznacne} lze každý vektor báze $\beta$ jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z $\alpha$ a také naopak. Přesvědčte se o tom a souřadnice jednotlivých bázových vektorů vypočtěte. Uvažme bázi $\gamma=(1+x,x+x^2,x^2+x^3,\dots,x^{n-1}+x^n)$. Jako cvičení vyjádřete každý z vektorů $\gamma$ v souřadnicích vzhledem k $\alpha$ a $\beta$. Jde to i naopak? Neměli byste být překvapeni, že nikoli. Vektor $1$ totiž není v $\lin(\gamma)$, tedy $\gamma$ není báze. Povšimněte si především, že zatímco $\alpha$ a $\beta$ jsou $(n+1)$-tice vektorů, je $\gamma$ jen $n$-tice. Znamená to tedy, že báze musí mít stejný počet prvků? \end{examplen} \begin{lemma}Nechť $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ je báze $V$ nad $\kk$ a $u\neq 0$ libovolný vektor. Pak existuje $i=1,\dots,n$ takové, že $(u,v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_n)$ je báze $V$. \end{lemma} \begin{proof} Protože $\alpha$ je báze, platí $u\in\lin(\alpha)$, přesněji $$u=a_1\cdot v_1+\dots+a_n\cdot v_n.$$ Nechť $a_i\neq 0$, pak \begin{equation}v_i=a_i^{-1}(u-a_1\cdot v_1-\dots-a_{i-1}\cdot v_{i-1} -a_{i+1}\cdot v_{i+1}-a_n\cdot v_n).\label{lin komb naopak} \end{equation} Nechť $w\in V$ je libovolný vektor. Dosadíme do lineární kombinace $$w=b_1\cdot v_1+\dots +b_n\cdot v_n$$ za $v_i$ vyjádření \ref{lin komb naopak}. Tím jsme ale vyjádřili vektor $w$ jako lineární kombinaci množiny $\{u,v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_n\}$, tedy $\{u,v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots, v_n\}$ generuje $V$. Kdyby nyní byla $\{u,v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots, v_n\}$ lineárně závislá množina, znamenalo by to, že $u\in\lin(\alpha-\{v_i\})$. Vzhledem k \ref{lin komb naopak} by ale pak také $v_i\in\lin(\alpha-\{v_i\})$ a $\alpha$ by nebyla báze, což není možné. Tedy $(u,v_1,\dots,v_{i-1},v_{i+1},\dots,v_n)$ je báze $V$. \end{proof} \begin{thm}[Steinitz] Nechť $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ je báze $V$ nad $\kk$ a $\{u_1,\dots,u_k\}$ je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak $k\leq n$ a mezi vektory báze existuje taková $(n-k)$-tice $v_{i_1},\dots,v_{i_{n-k}}$, že $(u_1,\dots,u_k,v_{i_1},\dots,v_{i_{n-k}})$ je báze $V$. \end{thm} \begin{proof} Důkaz provedeme indukcí vzhledem ke $k$ s využitím předešlého lemmatu, které představuje první krok. Nechť $k\leq n$ a věta platí pro $k-1$, tedy platí, že $(u_1,\dots,u_{k-1},v_{i_1},\dots,v_{i_{n-k+1}})$ je báze $V$. Pak ale $$ u_k=a_1\cdot u_1+\dots +a_{k-1}\cdot u_{k-1} + a_k \cdot v_{i_1} + \dots +a_n \cdot v_{i_{n-k+1}}.$$ Kdyby $a_j=0$ pro $j\geq k$, znamenalo by to, že množina $\{u_1,\dots,u_k\}$ není lineárně nezávislá, protože $$a_1\cdot u_1+\dots+a_{k-1}\cdot u_{k-1}+(-1)\cdot u_k=0.$$ To ale odporuje předpokladům, tedy některé $a_j$ pro $j\geq k$ je nenulové. Nyní můžeme stejně jako v lemmatu nahradit $v_{i_{j-k}}$ vektorem $u$ a dostaneme bázi. Zbývá ukázat, že $k$ nemůže být větší než $n$. Vzhledem k tomu, že v $n$-tém indukčním kroku obdržíme bázi $(u_1,\dots,u_n)$, musela by být množina $\{u_1,\dots,u_k\}$ lineárně závislá. \end{proof} \begin{cor} Má-li vektorový prostor konečnou bázi, mají všechny jeho báze stejný počet prvků. \end{cor} \begin{defin} Nechť $V$ je vektorový prostor. Mohutnost báze nazveme \df{dimenzí vektorového prostoru $V$}. \end{defin} \begin{remark} V definici báze stojí proti sobě dva principy. Báze je množina generátorů, ale zároveň je lineárně nezávislá. Generátorů musí být "dost", lineárně nezávislých vektorů nesmí být "zbytečně mnoho". Báze je minimální množina generátorů a zároveň maximální lineárně nezávislá množina. \end{remark} \begin{examplen} \label{radek krat sloupec} Nyní se vraťme k definici souřadnic a k zápisu bazí a souřadnic do řádků a sloupců. Nechť ve vektorovém prostoru $V$ nad polem $\kk$ je báze $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ a nechť $u\in V$ je vektor se souřadnicemi $$(u)_\alpha=\begin{pmatrix} a_1\\\vdots\\a_n \end{pmatrix}.$$ To znamená, že $$u=a_1\cdot v_1+\dots +a_n\cdot v_n.$$ Tuto lineární kombinaci budeme symbolicky zapisovat \begin{equation}\label{baze krat souradnice} u=\alpha\cdot(u)_\alpha \end{equation} a chápat $\cdot$ jako určitou operaci. V striktně algebraickém smyslu to operace není, není to ani akce nebo něco podobného. Povšimněte si zejména, že pomocí zápisu \ref{baze krat souradnice} lze přepsat lineární nezávislost vektorů báze $\alpha$ formálně výrazem \begin{equation} \label{lin nezav jako vektory} \forall c\in\mat_{n \times 1}(\kk): \alpha\cdot c=0\implies c=0. \end{equation} Podívejme se na "násobení" v \ref{baze krat souradnice} blíže. Zde je situace komplikovaná tím, že mícháme dohromady různé věci -- vektory a skaláry. Zkoumejme proto jednodušší situaci. Nechť $R$ je libovolný okruh. Maticím $\mat_{1 \times n}(R)$ říkejme \df{$n$-řádky} a maticím $\mat_{n \times 1}(R)$ podobně \df{$n$-sloupce}. Nechť $M$ je $n$-řádek a $N$ je $n$-sloupec, definujme jejich \df{součin} jako $a\in R$, $$a=\sum_{i=1}^n \big(M(1,i)\cdot N(i,1)\big).$$ Součin $n$-řádku s $n$-sloupcem je tedy zobrazení $$\cdot:\mat_{1 \times n}(R)\times\mat_{n \times 1}(R)\to R.$$ \end{examplen} \begin{remark} Nyní se nabízí otázka, proč raději nepsat báze i souřadnice oboje do řádků (či sloupců) a nedefinovat součin pro dva stejně dlouhé řádky či dva stejně dlouhé sloupce. Odpověď bude pochopitelná po určitém zobecnění součinu řádků se sloupci. Další vtíravá otázka, proč nepsat naopak souřadnice do řádků a matice do sloupců, bude vysvětlena o něco později. \end{remark} \begin{examplen} \label{definice matice prechodu} Povšimněme si nyní dvou bazí, např. bazí $\alpha$ a $\beta$ v $\qq[x]_n$ z příkladu \ref{baze v poly mod n}. Vezměme si po řadě souřadnice vektorů z $\alpha$ vzhledem k bázi $\beta$, tedy $$(1)_\beta=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}, \quad (x)_\beta=\begin{pmatrix} -1\\1\\0\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}, \quad (x^2)_\beta=\begin{pmatrix} 0\\-1\\1\\0\\\vdots\\0 \end{pmatrix}, \quad \dots, \quad (x^n)_\beta=\begin{pmatrix} 0\\0\\\vdots\\0\\-1\\1 \end{pmatrix}.$$ Pokud postupně aplikujeme na bázi $\beta$ a jednotlivé sloupce součin \ref{baze krat souradnice}, dostaneme vektory báze $\alpha$. Sestavme nyní z těchto sloupců čtvercovou matici a definujme další součin, opět obecně pro matice nad okruhem $R$. Nechť $M$ je $n$-řádek a $N\in\mat_{n \times n}(R)$, jejich součinem nazveme $n$-řádek $P$ splňující pro každé $i=1,\dots,n$ vztah $$P(1,i)=M\cdot N(-,i).$$ Symbolem $N(-,i)$ zde myslíme $i$-tý sloupec $N$ a součin na pravé straně rovnosti je tedy součin $n$-řádku s $n$-sloupcem. Poznamenejme, že podobně budeme symbolem $X(i,-)$ označovat $i$-tý řádek matice $X$, podtržítko zde znamená prázdné místo, do něhož lze dosazovat, tedy formálně je $$N(-,i):\{1,\dots,n\}\to R,\qquad \Big(N(-,i)\Big)(j)=N(j,i).$$ Povšimněte si, že součin $n$-řádku s maticí $n \times n$ odpovídá tomu, jak jsme vyjádřili bázi $\alpha$ z báze $\beta$. Tam jsme vlastně násobili takto: $$\alpha=\beta\cdot \Big(\begin{array}{c|c|c|c} (1)_\beta&(x)_\beta&\dots&(x^n)_\beta \end{array}\Big),$$ přičemž symbolem vpravo rozumíme matici $n \times n$ vzniklou tak, že sloupce napíšeme vedle sebe, tedy $$\Big(\begin{array}{c|c|c|c} (1)_\beta&(x)_\beta&\dots&(x^n)_\beta \end{array}\Big)(-,i)=(x^{i-1})_\beta.$$ Povšimněme si nyní velmi důležité věci. Nechť $u\in\qq[x]_n$. Pak \begin{equation}\label{zmena souradnic} u=\alpha\cdot(u)_\alpha= \bigg(\beta\cdot \Big(\begin{array}{c|c|c|c} (1)_\beta&(x)_\beta&\dots&(x^n)_\beta \end{array}\Big)\bigg)\cdot(u)_\alpha. \end{equation} Definujme další součin, velmi podobný jako předešlý. Nechť $M$ je matice $n \times n$ a $N$ je $n$-sloupec. Jejich součinem nazveme $n$-sloupec $P$ splňující pro $i=1,\dots,n$ $$P(i,1)=M(i,-)\cdot N.$$ Pak lze výraz \ref{zmena souradnic} přepsat jako $$u=\alpha\cdot(u)_\alpha= \beta \cdot\bigg( \Big(\begin{array}{c|c|c|c} (1)_\beta&(x)_\beta&\dots&(x^n)_\beta \end{array}\Big)\cdot(u)_\alpha\bigg)$$ a vzhledem k jednoznačnosti souřadnic vzhledem k dané bázi to znamená, že $$(u)_\beta=\Big(\begin{array}{c|c|c|c} (1)_\beta&(x)_\beta&\dots&(x^n)_\beta \end{array}\Big)\cdot (u)_\alpha$$ \end{examplen} \begin{remark} Poznamenejme, že jsme v předchozím příkladu několikrát aplikovali nově definované součiny v situacích, kdy řádkem nebyl $n$-řádek, ale uspořádaná báze. V těchto případech jsme však k součinu přistupovali jako k výrazu \ref{baze krat souradnice}. \end{remark} \begin{defin} Nechť $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ a $\beta$ jsou báze ve vektorovém prostoru $V$. Čtvercovou matici $(\id)_{\beta\alpha}$ splňující $$(\id)_{\beta\alpha}(-,i)=(v_i)_\beta,$$ tedy $$(\id)_{\beta\alpha}= \big(\begin{array}{c|c|c|c}(v_1)_\beta&(v_2)_\beta&\dots&(v_n)_\beta \end{array}\big)$$ nazýváme \df{matice přechodu od báze $\alpha$ k bázi $\beta$}. \end{defin} \begin{remark} Uvědomte si, že vzhledem k jednoznačnosti souřadnic je také matice přechodu určena jednoznačně. Označení matice přechodu bude jasné později, povšimněte si obráceného pořadí bazí v indexu $(\id)_{\beta\alpha}$. \end{remark} \begin{examplen} \label{soucin ctvercovych matic} Nyní ukážeme motivaci pro definování dalšího součinu. Nechť $\alpha$, $\beta$ a $\gamma$ jsou tři báze ve $V$. Nový součin bude definován tak, že matice přechodu od $\alpha$ ke $\gamma$ bude součinem matice přechodu od $\beta$ ke $\gamma$ s maticí přechodu od $\alpha$ k $\beta$. Nechť tedy $M$ a $N$ jsou matice $n \times n$. Jejich součinem nazveme matici $P$ typu $n \times n$ splňující pro $i=1,\dots,n$ a $j=1,\dots, n$ vztah $$P(i,j)=M(i,-)\cdot N(-,j),$$ tedy v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci součinu je součin $i$-tého řádku $M$ s $j$-tým sloupcem matice $N$. Vraťme se k motivaci. Víme, že pro každé $u\in V$ je \begin{align*} u&=\alpha\cdot(u)_\alpha=\gamma\cdot(\id)_{\gamma\alpha}\cdot(u)_\alpha. \intertext{Zároveň ale} u&=\alpha\cdot (u)_\alpha=\beta\cdot (\id)_{\beta\alpha}(u)_\alpha= \gamma\cdot(\id)_{\gamma\beta}\cdot(\id)_{\beta\alpha}\cdot(u)_\alpha \end{align*} Protože matice přechodu je dána jednoznačně, musí platit $$(\id)_{\gamma\alpha}=(\id)_{\gamma\beta}\cdot(\id)_{\beta\alpha}.$$ Součin na pravé straně je pak právě součin čtvercových matic definovaný výše. \end{examplen} \begin{remark} Uvědomte si, že součin čtvercových matic je operace z algebraického hlediska, neboť je to zobrazení $$\cdot:\mat_{n \times n}(R)\times\mat_{n \times n}(R)\to \mat_{n \times n }(R).$$ \end{remark} \begin{examplen} \label{asociativita soucinu matic} Součin matic $n \times n$ je asociativní operace, neboť pro každé $M,N,P\in\mat_{n \times n}(R)$ je $$\Big((M\cdot N)\cdot P\Big)(i,j)= \big(M\cdot N\big)(i,-)\cdot P(-,j)= M(i,-)\cdot N\cdot P(-,j)$$ $$\Big(M\cdot (N\cdot P)\Big)(i,j)= M(i,-)\cdot\big( N\cdot P\big)(-,j)= M(i,-)\cdot N\cdot P(-,j)$$ Ujistěte se, že dobře rozumíte výše uvedenému zápisu. Uvědomte si také, že ze zápisu plyne, že $i$-tý řádek součinu matic $M$ a $N$ je součinem $i$-tého řádku $M$ s maticí $N$. Promyslete si, jak tento fakt plyne z definice násobení $n$-řádku maticí $n \times n$ (viz příklad~\ref{definice matice prechodu}). Dále si rozmyslete podobný fakt pro sloupce. \end{examplen} \begin{remark} V poznámce k příkladu \ref{radek krat sloupec} jsme se zamýšleli nad tím, proč nedefinovat součin $n$-řádku s $n$-řádkem či naopak $n$-sloupce s $n$-sloupcem. Nyní, když znáte součin čtvercových matic, se můžete zamyslet, s jakými obtížemi by se definoval součin matic, pokud bychom chtěli vyjít např. od součinu $n$-řádků. Uvažme takový součin "po řádcích". Především vůbec není jasné, který prvek ve výsledné matici kam psát, na rozdíl od součinu, který jsme definovali my. Připusťme ale, že bychom zavedli nějakou konvenci, např. takovou, že v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci součinu je součin $i$-tého řádku s $j$-tým řádkem, tedy např. u matic $2 \times 2$ dostaneme $$\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e&f\\g&h \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ae+bf&ag+bh\\ce+df&cg+dh \end{pmatrix}.$$ Takový součin ale nebude asociativní! Vyzkoušejte $$\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e&f\\g&h \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} i&j\\k&l \end{pmatrix}$$ a okamžitě vidíte, že v prvním řádku prvním sloupci výsledné matice je při jednom uzávorkování $aei+bfi+agj+bhj$ a při druhém $aei+afj+bek+bfl$. Promyslete si dobře, že asociativitu nezískáte ani při jiné konvenci uspořádání prvků. Formální důkaz tohoto tvrzení by byl zdlouhavý a nebudeme jej uvádět. \end{remark} \begin{exerc} Ověřte, že matice $E_n$ typu $n \times n$ definovaná předpisem $$E_n(i,j)=\begin{cases}1\text{ pro } i=j\\0\text{ jinak,} \end{cases}$$ je jednotkovým prvkem vzhledem k násobení matic $n \times n$. \end{exerc} \begin{remark} Z příkladu \ref{souradnice baze v sobe same} plyne, že pro každou bázi $\alpha$ ve vektorovém prostoru $V$ dimenze $n$ je $(\id)_{\alpha\alpha}=E_n$. \end{remark} \begin{examplen} \label{distrib nasobeni matic} Vraťme se na chvíli k násobení řádků sloupci. Násobení $n$-řádku $n$-sloupcem je zleva i zprava distributivní operace, což plyne přímo z distributivity násobení v $R$. Přesněji, pro libovolné $M,N\in\mat_{1 \times n}(R)$ a $P,Q\in\mat_{n \times 1}(R)$ platí \begin{align*} M\cdot(P+Q)&=\sum_{i=1}^n M(1,i)\cdot\big(P(i,1)+Q(i,1)\big)\\ &=\sum_{i=1}^n \big(M(1,i)\cdot P(i,1)+M(1,i)\cdot Q(i,1)\big)= M\cdot P+M\cdot Q \intertext{a podobně} (M+N)\cdot P&=\sum_{i=1}^n \big(M(1,i)+N(1,i)\big)\cdot P(i,1)\\ &=\sum_{i=1}^n \big(M(1,i)\cdot P(i,1)+N(1,i)\cdot P(i,1)\big)= M\cdot P+N\cdot P \end{align*} Především z toho plyne, že pro libovolnou lineární kombinaci vektorů $v_1,\dots,v_k\in V$ a libovolnou bázi $\alpha$ ve $V$ platí $$ (c_1\cdot v_1+\dots +c_k\cdot v_k)_\alpha= c_1\cdot (v)_1+\dots+c_k\cdot(v)_k.$$ Nechť nyní $A,B,C\in\mat_{n \times n}(R)$. Protože součin čtvercových matic je definován tak, že v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci matice $A\cdot B$ je součin $i$-tého sloupce $A$ s $j$-tým sloupcem $B$, plyne z distributivity násobení řádků sloupci také \begin{align*} A\cdot(B+C)&=A\cdot B+A\cdot C\\ (A+B)\cdot C&=A\cdot C+B\cdot C. \end{align*} \end{examplen} \begin{cor} Z úvah v předchozích dvou příkladech a z předchozího cvičení vyplývá, že $(\mat_{n \times n}(R),+,\cdot)$ tvoří okruh, přičemž nulová matice $0_n$ je nulový prvek a jednotková matice $E_n$ je jednotkový prvek. \end{cor} \begin{remark} Zdůrazněme, že tento okruh je podstatně významnější než výše uvedený okruh $(\mat_{n \times n}(R),+,\ast)$ s násobením po složkách, jehož zavedení nemělo jiný smysl než ilustrovat na příkladech pojem okruhu. \end{remark} \begin{examplen} \label{definice GLn} Nechť $V$ je vektorový prostor nad polem $\kk$ dimenze $n$ Nechť $\alpha$, $\beta$ jsou libovolné báze. Pak vzhledem k příkladu \ref{souradnice baze v sobe same} a z jednoznačnosti matice přechodu plyne $$(\id)_{\beta\alpha}\cdot (\id)_{\alpha\beta}=(\id)_{\beta\beta}=E_n$$ a tedy $(\id)_{\beta\alpha}$ je inverzní prvek k $(\id)_{\alpha\beta}$ vzhledem k násobení matic. Specielně to znamená, že každá matice přechodu má inverzní prvek. Tedy množina matic přechodu tvoří grupu vzhledem k násobení, nazývá se \df{obecná lineární grupa} a značíme ji $GL(n,\kk)$. Tato grupa není komutativní, např. $$ \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1&1\\1&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3&5\\7&11 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 4&6\\7&10 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1\\1&2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} $$ To především znamená, že $(\mat_{n \times n}(\kk),+,\cdot)$ není komutativní okruh a že obecněji pro libovolné $R$ okruh $(\mat_{n \times n}(R),+,\cdot)$ není komutativní. Jak ale ukázat, že výše uvedené matice jsou skutečně maticemi přechodu? Existují vůbec nějaké matice typu $n \times n$, které by nebyly maticemi přechodu? Především lze ukázat, že pro libovolné $n$ nemá nulová matice $0_n$ inverzní prvek. Skutečně, pro každé $M\in\mat_{n \times n}(\kk)$ je $$0_n\cdot A=A\cdot 0_n=0_n.$$ Protože už víme, že každá matice přechodu má inverzní prvek, nemůže být nulová matice maticí přechodu. \end{examplen} \begin{remark} Podobně jako $GL(n,\kk)$ v $(\mat_{n \times n}(\kk),+,\cdot)$ je v každém okruhu množina prvků, které mají inverzi (tzv. \df{invertibilních prvků}) grupou vzhledem k násobení. Připomeňme, že v netriviálním poli je jediným prvkem bez inverze nulový prvek. Naopak např. v $\zz$ jsou invertibilními prvky pouze $1$ a $-1$. V dalším textu budeme postupně směřovat k tomu, zda je invertibilních matic (tedy matic přechodu) spíše "málo" podobně jako v $\zz$, nebo "většina" podobně jako v poli. \end{remark} \begin{exerc} Nechť $M$ a $N$ jsou matice přechodu. Dokažte, že pak $$(M\cdot N)^{-1}=N^{-1}\cdot M^{-1}.$$ \end{exerc} \begin{examplen} \label{gauss} Buď $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ báze $V$. Označme \begin{align*} \beta&=(v_1,\dots,v_{i-1}, v_j, v_{i+1},\dots,v_{j-1},v_i,v_{j+1},\dots,v_n),\\ \gamma&=(v_1,\dots,v_{i-1},v_i+v_j,v_{i+1},\dots,v_n),\\ \delta&=(v_1,\dots,v_{i-1},a\cdot v_i,v_{i+1},\dots,v_n), \text{ kde } a\neq 0. \end{align*} Zřejmě $\beta,\gamma$ a $\delta$ jsou báze. Pak \begin{align*} (\id)_{\beta\alpha}(-,k)&= \begin{cases} E_n(-,k)\text{ pro }k\neq i,j\\ E_n(-,i)\text{ pro } k=j\\ E_n(-,j)\text{ pro } k=i \end{cases}\\ (\id)_{\gamma\alpha}(-,k)&= \begin{cases} E_n(-,k)\text{ pro }k\neq i\\ E_n(-,i)+E_n(-,j)\text{ pro } k=i \end{cases}\\ (\id)_{\delta\alpha}(-,k)&= \begin{cases} E_n(-,k)\text{ pro }k\neq i\\ a\cdot E_n(-,i)\text{ pro } k=i \end{cases} \end{align*} Povšimněte si, jak se liší $\beta$, $\gamma$ a $\delta$ od $\alpha$. Uvědomte si, že \begin{align*} (\id)_{\alpha\beta}&=(\id)_{\beta\alpha}\\ (\id)_{\alpha\gamma}(-,k)&= \begin{cases} E_n(-,k)\text{ pro }k\neq i\\ E_n(-,i)-E_n(-,j)\text{ pro } k=i \end{cases}\\ (\id)_{\alpha\delta}(-,k)&= \begin{cases} E_n(-,k)\text{ pro }k\neq i\\ a^{-1}\cdot E_n(-,i)\text{ pro } k=i \end{cases} \end{align*} Povšimněte si, že pro každou matici přechodu $M$ se $(\id)_{\beta\alpha}\cdot M$ liší od $M$ tím, že je vyměněn $i$-tý a $j$-tý řádek, $M\cdot(\id)_{\beta\alpha}$ se od $M$ liší tím, že je vyměněn $i$-tý a $j$-tý sloupec. Podobně $(\id)_{\gamma\alpha}\cdot M$ je shodná s $M$ až na to, že k $i$-tému řádku je přičten $j$-tý, $(\id)_{\delta\alpha}\cdot M$ má v $i$-tém řádku $a$-násobek $i$-tého řádku $M$, při násobení $(\id)_{\gamma\alpha}$ a $(\id)_{\delta\alpha}$ zprava podobně pro sloupce. Maticím $(\id)_{\beta\alpha}$, $(\id)_{\gamma\alpha}$ a$(\id)_{\delta\alpha}$ říkáme \df{matice elementárních úprav} nebo \df{elementární matice}. Je snadné odvodit algoritmus (a především dokázat jeho konečnost), při němž budeme matici přechodu $M$ postupně násobit zleva vhodnými elementárními maticemi tak, že nakonec dostaneme jednotkovou matici $E_n$, přesněji $$E_n=U_s\cdot U_{s-1}\cdot \dots \cdot U_1\cdot M,$$ kde $U_k$ označuje příslušnou elementární matici. Pak ale $$M^{-1}=U_s\cdot U_{s-1}\cdot \dots \cdot U_1$$ a tedy výše uvedený algoritmus je vlastně efektivním algoritmem na výpočet inverzní matice. Tento algoritmus nazýváme \df{Gaussův eliminační algoritmus}. \end{examplen} \begin{remark} Uvědomte si, že podle předchozího cvičení a příkladu je $$M=U_1^{-1}\cdot\dots\cdot U_s^{-1},$$ tedy každá matice přechodu je součinem elementárních matic, neboť inverzní matice k elementárním maticím jsou opět elementární matice -- u matic tvaru $(\id)_{\alpha\beta}$ a $(\id)_{\alpha\delta}$ je to zřejmé, matici $(\id)_{\alpha\gamma}$ dostaneme vynásobením elementární matice pro přičtení $j$-tého k $i$-tému řádku maticí pro násobení $j$-tého řádku skalárem $-1$. \end{remark} \begin{exerc} Formulujte přesně algoritmus Gaussovy eliminace a dokažte jeho konečnost. \end{exerc} \begin{examplen} \label{primy vypocet regularity} Uvažme v $\qq[x]_1$ bázi $\varepsilon=(1,x)$. Prozkoumáme, zda je matice $$M=\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$$ maticí přechodu. Protože $$(1,x)\cdot \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}=(1+3x,2+4x),$$ ověříme, zda vektory $1+3x$ a $2+4x$ jsou lineárně nezávislé. Předpokládejme, že $$a\cdot(1+3x)+b\cdot(2+4x)=0,$$ pak $a+2b=0$ a $3a+4b=0$ porovnáním koeficientů u stejných mocnin. To je ale možné jedině tehdy, pokud $a=b=0$ a tedy $1+3x$ a $2+4x$ jsou lineárně nezávislé vektory. Protože je jich stejný počet jako vektorů báze $(1,x)$, je také $\alpha=(1+3x,2+4x)$ báze v $\qq[x]_1$ a tedy matice~$M$ je maticí přechodu, $M=(\id)_{\alpha\varepsilon}$. Její inverzí je pak matice přechodu od $\alpha$ k $\varepsilon$, tedy matice složená ze sloupců souřadnic $(1)_\alpha$ a $(x)_\alpha$, které získáme z rovnic \begin{align*} 1&=a\cdot(1+3x)+b\cdot(2+4x)\\x&=c\cdot(1+3x)+d\cdot(2+4x) \end{align*} Dostáváme pak $$(1)_\alpha=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix},(x)_\alpha=\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}, (\id)_{\varepsilon\alpha}=\begin{pmatrix} a&c\\b&d \end{pmatrix}$$ a ověřte výpočtem, že výsledná matice přechodu je skutečně inverzní k $M$. \end{examplen} \begin{remark} Promyslete si, jak jsme v předchozím příkladu dokázali, že matice $M$ je maticí přechodu. Jádrem důkazu je to, zda jsou vektory uspořádané $n$-tice $\varepsilon\cdot M$ lineárně nezávislé. To je v jistém smyslu vnější kritérium, protože zkoumáme, jak se matice chová. Následující tvrzení popisuje vnitřní kritérium, zda je matice $M$ maticí přechodu, tedy kritérium využívající jen prvků matice $M$. \end{remark} \begin{prop} Nechť $\alpha=(v_1,\dots,v_n)$ je báze ve $V$ nad $\kk$ a $M\in\mat_{n \times n}(\kk)$. Pak uspořádaná $n$-tice vektorů $\alpha\cdot M$ je lineárně nezávislá ve $V$ právě tehdy, když jsou sloupce matice $M$ lineárně nezávislé jako vektory v $\mat_{n \times 1}(\kk)$. \end{prop} \begin{remark} Uvědomte si dobře, že lineární nezávislost sloupců $M$ znamená, že každá lineární kombinace $$c_1\cdot M(-,1)+\dots +c_n\cdot M(-,n)=0$$ je triviální, tedy $c_1=\dots=c_n=0$. Zapišme formálně skaláry $c_1,\dots,c_n$ jako $n$-sloupec $c$, tedy $c(i,1)=c_i$ pro $i=1,\dots,n$. Protože násobení v $\kk$ je komutativní, lze přepsat předchozí výraz jako $$M(-,1)\cdot c(1,1)+\dots+M(-,n)\cdot c(n,1)=M\cdot c.$$ To je mimochodem jeden z důvodů, proč jsme požadovali v definici pole komutativitu (tedy komutativitu násobení). Uvědomte si také, že jsme úplně stejnou změnu zápsiu provedli již ve výrazu \ref{baze krat souradnice}. \smallskip Můžeme tedy říci, že sloupce matice $M$ jsou lineárně nezávislé právě tehdy, pokud jediný $n$-sloupec $c$ splňující $M\cdot c=0$ je nulový. \end{remark} \smallskip Nyní dokážeme tvrzení. \begin{proof} K důkazu vyžijeme zápis lineární nezávislosti v \ref{lin nezav jako vektory}. Předpokládejme, že $\alpha\cdot M$ je lineárně nezávislé. Nechť pro $n$-sloupec $c$ platí $M\cdot c=0$. Pak ale $\alpha\cdot M\cdot c=0$ a tedy $c$ je lineární kombinace, která nuluje $\alpha\cdot M$. Z lineární nezávislosti $\alpha\cdot M$ je potom $c=0$ a tedy $M$ má lineárně nezávislé sloupce. Naopak, nechť $M$ má lineárně nezávislé sloupce a $(\alpha\cdot M)\cdot c=0$ pro nějaký $n$-sloupec $c$. Pak ale z lineární nezávislosti $\alpha$ plyne, že $M\cdot c=0$ a z lineární nezávislosti sloupců $M$ dostáváme $c=0$, tedy $\alpha\cdot M$ je lineárně nezávislá. Tím je důkaz ukončen. \end{proof} \begin{examplen} \label{sloupce E_n} Povšimněme si nyní prostoru $n$-sloupců nad $\kk$. Není těžké ověřit, že sloupce jednotkové matice $E_n$ tvoří bázi tohoto prostoru, označme ji $\varepsilon$. Přesněji, $$\varepsilon=\big(E_n(-,1),\dots,E_n(-,n)\big).$$ V této bázi je $i$-tá souřadnice vektoru $c$ rovna prvku $c(i,1)$, tedy $i$-tému prvku sloupce. To může být silně matoucí, protože při nevhodném zápisu může být problém odlišit vektor souřadnic od vektoru samotného. Skutečně, $(c)_\varepsilon=c$. Uvažme nyní $n$-sloupec $d$, který má všechny prvky $d(i,1),\dots,d(n,1)$ rovny nule. Uvědomte si, že pak $d\in\lin\big(E_n(-,1),\dots,E_n(-,i-1)\big)$. Tedy matice, která má v $i$-tém sloupci na $i$-tém místě nenulový prvek a dále nuly, má lineárně nezávislé sloupce. \end{examplen} \begin{thebibliography}{xxx} \bibitem[H]{hefferon} Hefferon, J., Linear Algebra, kniha dostupná na webové stránce autora\\ {\tt http://joshua.smcvt.edu/pub/hefferon/book/book.pdf} \bibitem[S]{slovak} Slovák, J., Lineární algebra, skripta dostupná na webové stránce autora\\ {\tt http://www.math.muni.cz/\~{}slovak} \end{thebibliography} \vfill \hrule\medskip \noindent{\footnotesize Tento text podléhá licenci {\em Letmého úvodu\/}: jeho kopírování, změny a úpravy či publikování pod vlastním jménem jsou dovoleny. Není dovoleno do vytištěného textu balit masné výrobky. O chybách či nedostatcích ve verzi textu na našich stránkách prosím informujte na adresu {\tt elvis@spiknuti.org}.} \end{document}